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九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经过了实践--应用--探究的过程： （1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道（如图①）进行测量，测得一隧道的路面宽为 ...
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高中数学《柯西不等式》真题及答案
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求证 3 2 − 1 n + 1 < 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + ⋯ + 1 n 2 < 2 − 1 n n ⩾ 2 n ∈ N + .
已知 | x | ⩽ 1 n ∈ N * 用二项式定理证明 1 + x n + 1 − x n ⩽ 2 n .
已知 a n = 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + + n n + 1 n ∈ N + 求证 n n + 1 2 < a n < n + 1 2 2 .
若 a b c d ∈ R + 求证 1 < a a + b + d + b b + c + a + c c + d + b + d d + a + c < 2
甲乙两人在一条长 400 米的直线跑道上同起点同终点同方向匀速跑步先到终点的人原地休息.已知甲先出发 3 秒在跑步过程中甲乙两人的距离 y 米与乙出发的时间 t 秒之间的关系如图所示则下列结论正确的是
如图在 Rt △ A B C 中 ∠ B A C = 90 ∘ ∠ B = 60 ∘ B C = 16 cm A D 是斜边 B C 上的高垂足为 D B E = 1 cm . 点 M 从点 B 出发沿 B C 方向以 1 cm/s 的速度运动点 N 从点 E 出发与点 M 同时同方向以相同的速度运动以 M N 为边在 B C 的上方作正方形 M N G H .点 M 到达点 D 时停止运动点 N 到达点 C 时停止运动.设运动时间为 t s . 1 当 t 为何值时点 G 刚好落在线段 A D 上 2 设正方形 M N G H 与 Rt △ A B C 重叠部分的图形的面积为 S 当重叠部分的图形是正方形时求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围. 3 设正方形 M N G H 的边 N G 所在直线与线段 A C 交于点 P 连接 D P 当 t 为何值时 △ C P D 是等腰三角形
已知 a > c > d > b > 0 a + b = c + d n 为大于等于 1 的正整数求证 a n + b n > c n + d n .
设 | a | < 1 | b | < 1 求证 | a + b | + | a - b | < 2 .
设不等的两个正数 a b 满足 a 3 - b 3 = a 2 - b 2 则 a + b 的取值范围是
某同学准备用反证法证明如下一个问题函数 f x 在 [ 0 1 ] 上有意义且 f 0 = f 1 如果对于不同的 x 1 x 2 ∈ [ 0 1 ] 都有 | f x 1 - f x 2 | < | x 1 - x 2 | 求证 | f x 1 - f x 2 | < 1 2 . 那么他的假设应该是_______.
若 x y ∈ R 则下面四个式子中恒成立的是
已知数列 a n 满足 a 1 = a > 2 a n = a n − 1 + 2 n ⩾ 2 n ∈ N * .1求证对任意 n ∈ N * a n > 2 2判断数列 a n 的单调性并说明你的理由3设 S n 为数列 a n 的前 n 项和求证当 a = 3 时 S n < 2 n + 4 3 .
设 a n = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ⋯ + n n + 1 n ∈ N + 用数学归纳法证明 n n + 1 2 < a n < n + 1 2 2 .
已知 a 1 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ a n ∈ R + 且 a 1 2 + a 2 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n 2 = 1 n ∈ N * . Ⅰ求证 a 1 a 2 + a 2 a 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n - 1 a n + a n a 1 ≤ 1 Ⅱ求证 a 1 + a 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + a n < n + 1 2 .
已知 a b c d 是正实数 P = a a + b + c + b a + b + d + c c + d + a + d c + d + b 则有
设 x > 0 y > 0 A = x + y 1 + x + y B = x 1 + x + y 1 + y 则 A B 的大小关系是
李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园锻炼一阵后在慢跑回家.表示李阿姨离开家的距离 y 单位米与时间 t 单位分的函数关系的图像大致如上图所示则李阿姨跑步的路线可能是用P点表示李阿姨家的位置
已知数列 a n 的首项为 1 S n 为数列 a n 的前 n 项和 S n + 1 = q S n + 1 其中 q > 0 n ∈ N ∗ .1若 2 a 2 a 3 a 2 + 2 成等差数列求数列 a n 的通项公式2设双曲线 x 2 - y 2 a n 2 = 1 的离心率为 e n 且 e 2 = 5 3 证明 e 1 + e 2 + ⋯ + e n > 4 n - 3 n 3 n - 1 .
设函数 f x = 1 3 a x 3 + 1 2 b x 2 + c x a b c ∈ R a ≠ 0 的图象在点 x f x 处的切线的斜率为 k x 且函数 g x = k x − 1 2 x 为偶函数.若函数 k x 满足下列条件① k -1 = 0 ②对一切实数不等式 k x ⩽ 1 2 x 2 + 1 2 恒成立.1求函数 k x 的表达式2求证 1 k 1 + 1 k 2 + ⋯ + 1 k n > 2 n n + 2 n ∈ N ∗ .
在数列 a n 中 a 1 = 3 a n + 1 a n + λ a n + 1 + μ a n 2 = 0 n ∈ N + Ⅰ若 λ = 0 μ = - 2 求数列 a n 的通项公式Ⅱ若 λ = 1 k 0 k 0 ∈ N + k 0 ⩾ 2 μ = − 1 证明 2 + 1 3 k 0 + 1 < a k 0 + 1 < 2 + 1 2 k 0 + 1 .
设 x > 0 y > 0 A = x + y 1 + x + y B = x 1 + x + y 1 + y 则 A B 的大小关系是
1已知三个正数 a b c 成等比数列但不成等差数列求证 a b c 不成等差数列.2设 a n b n 是公比不相等的两个等比数列 c n = a n + b n 证明数列 c n 不是等比数列.
1若 a > b > c > d > 0 且 a + d = b + c 求证 d + a < b + c 2已知 a b c d ∈ R 且 a + b = c + d = 1 a c + b d > 1 求证 a b c d 中至少有一个是负数.
设 n ∈ N + 则 4 n 与 3 n 的大小关系是
设 n ∈ N * x n 是曲线 y = x 2 n + 2 + 1 在点 1 2 处的切线与 x 轴交点的横坐标 1 求数列 x n 的通项公式 2 记 T n = x 1 2 x 3 2. . . x 2 n - 1 2 证明 T n ⩾ 1 4 n .
设 x y z > 0 a = x + 1 y b = y + 1 z c = z + 1 x 则 a b c 三数
已知函数 f x = a x - ln 1 + x 2 .1当 a = 4 5 时求函数 f x 在 0 + ∞ 上的极值2证明当 x > 0 时 ln 1 + x 2 < x 3证明 1 + 1 2 4 1 + 1 3 4 ⋯ 1 + 1 n 4 < en ∈ N * n ⩾ 2 e 为自然对数的底数 .
已知数列 a n 的前 n 项和 S n = 2 n 2 + 2 n 数列 b n 的前 n 项和 T n = 2 - b n .1求数列 a n 与 b n 的通项公式2设 c n = a n 2 ⋅ b n 证明当 n ⩾ 3 时 c n + 1 < c n .
已知数列 a n 的各项均为正数 b n = n 1 + 1 n n a n n ∈ N + e 为自然对数的底数. Ⅰ求函数 f x = 1 + x - e x 的单调区间并比较 1 + 1 n n 与 e 的大小 Ⅱ计算 b 1 a 1 b 1 b 2 a 1 a 2 b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3 由此推测计算 b 1 b 2 b n a 1 a 2 a n 的公式并给出证明 Ⅲ令 c n = a 1 a 2 … a n 1 n 数列 a n c n 的前 n 项和分别记为 S n T n 证明 T n < e S n .
设 S n = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + ⋯ + n n + 1 求证不等式 n n + 1 2 < S n < n + 1 2 2 对所有的正整数 n 都成立.
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