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如图所示，一个圆柱形兵乓球筒，高为 20 厘米，底面半径为 2 厘米.球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个兵乓球均...
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高中数学《椭圆的应用》真题及答案
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已知椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率为 e = 2 2 上下顶点及左右顶点构成的四边形面积为 3 2. 1求椭圆的方程2设 A B 为过椭圆 C 的中心的弦若椭圆上的点 P 满足 | P A | = | P B | 求 1 | O A | 2 + 1 | O B | 2 + 2 | O P | 2 的值.
定义在平面内点 P 到曲线 Γ 上的点的距离的最小值称为点 P 到曲线 Γ 的距离.在平面直角坐标系 x O y 中已知圆 M : x - 2 2 + y 2 = 12 及点 A - 2 0 动点 P 到圆 M 的距离与到 A 点的距离相等记 P 点的轨迹为曲线 W .Ⅰ求曲线 W 的方程Ⅱ过原点的直线 l l 不与坐标轴重合与曲线 W 交于不同的两点 C D 点 E 在曲线 W 上且 C E ⊥ C D 直线 D E 与 x 轴交于点 F 设直线 D E C F 的斜率分别为 k 1 k 2 求 k 1 k 2 .
如图已知 A 1 A 2 B 1 B 2 是椭圆 C x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的四个顶点 △ A 1 B 1 B 2 是一个边长为 2 的等边三角形其外接圆为圆 M .1求椭圆 C 及圆 M 的方程2若点 D 是圆 M 劣弧 A 1 B 2 ⌢ 上一动点点 D 异于端点 A 1 B 2 直线 B 1 D 分别交线段 A 1 B 2 椭圆 C 于点 E G 直线 B 2 G 与 A 1 B 1 交于点 F .①求 | G B 1 | | E B 1 | 的最大值②试问 E F 两点的横坐标之和是否为定值若是求出该定值若不是请说明理由.
已知曲线 C 的方程是 m x 2 + n y 2 = 1 m > 0 n > 0 且曲线过 A 2 4 2 2 B 6 6 3 3 两点 O 为坐标原点.1求曲线 C 的方程2设 M x 1 y 1 N x 2 y 2 是曲线 C 上两点向量 p ⃗ = m x 1 n y 1 q ⃗ = m x 2 n y 2 且 p ⃗ ⋅ q ⃗ = 0 → 若直线 M N 过 0 3 2 求直线 M N 的斜率.
在平面直角坐标系 x O y 中椭圆 C x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率为 2 2 且过点 A 6 1 点 P 在椭圆 C 上且在第一象限内直线 P Q 与圆 O x 2 + y 2 = b 2 相切于点 M .1求椭圆 C 的方程2若 O P ⊥ O Q 求点 Q 的纵坐标的取值范围.
已知圆 C 1 : x + 1 2 + y = 25 圆 C 2 : x - 1 2 + y = 1 动圆 C 与圆 C 1 和圆 C 2 均内切.1求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程2点 P 1 t 为轨迹 E 上的点且点 P 为第一象限点过点 P 作两条直线与轨迹 E 交于 A B 两点直线 P A P B 斜率互为相反数则直线 A B 斜率是否为定值若是求出定值若不是请说明理由.
已知中心在原点焦点在 y 轴上的椭圆 C 其上一点 P 到两个焦点 F 1 F 2 的距离之和为 4 离心率为 3 2 .1求椭圆 C 的方程2若直线 y = k x + 1 与曲线 C 交于 A B 两点求 △ O A B 面积的取值范围.
定圆 M : x + 3 2 + y 2 = 16 动圆 N 过点 F 3 0 且与圆 M 相切记圆心 N 的轨迹为 E .1求轨迹 E 的方程2设点 A B C 在 E 上运动 A 与 B 关于原点对称且 | A C | = | B C | 当 △ A B C 的面积最小时求直线 A B 的方程.
如意抛物线 C 1 y = 1 4 x 2 的焦点 F 也是随圆 C 2 y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1 a > b > 0 的一个焦点且在两曲线的一个公共点处的直线 l 1 6 x - 2 y - 3 = 0 且 C 1 相切.1求 C 2 的方程2过点 F 的直线 l 与 C 1 交于 A B 两点与 C 2 交于 C D 两点且 A C ⃗ 与 B D ⃗ 同向.①若 | A C | = | B D | 求直线 l 的斜率② y 轴上是否存在点 P 使得当直线 l 变化时总有 ∠ O P C = ∠ O P D 若存在写出点 P 的坐标不用说明理由.
设椭圆 M y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率与双曲线 x 2 - y 2 = 1 的离心率互为倒数且椭圆的长轴长为 4 .1求椭圆 M 的方程2若直线 y = 2 x + m 交椭圆 M 于 A B 两点 P 1 2 为椭圆 M 上一点求 △ P A B 面积的最大值.
设椭圆 C x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的左右焦点分别为 F 1 F 2 上顶点为 A 离心率为 1 2 在 x 轴负半轴上有一点 B 使得 B F 2 ⃗ = 2 B F 1 ⃗ 若过 A B F 2 三点的圆恰好与直线 x - 3 y - 3 = 0 相切.1求椭圆 C 的方程2若直线 l y = x + m 与椭圆 C 交于 M N 两点且线段 M N 的中点 P 关于直线 y = x + 1 的对称点在圆 x 2 + y 2 = 1 上求 m 的值.
已知圆 C 1 x + 1 2 + y 2 = 25 圆 C 2 x - 1 2 + y 2 = 1 动圆 C 与圆 C 1 和圆 C 2 均内切.1求动圆圆心 C 的轨迹 E 的方程2点 P 1 t 为轨迹 E 上的点且点 P 为第一象限点过点 P 作两条直线与轨迹 E 交于 A B 两点直线 P A P B 斜率互为相反数则直线 A B 斜率是否为定值若是求出定值若不是请说明理由.
椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的左右焦点分别为 F 1 F 2 且离心率为 1 2 点 P 为椭圆上一动点 △ F 1 P F 2 面积的最大值为 3 .1求椭圆的方程2设椭圆的左顶点为 A 1 过右焦点 F 2 的直线 l 与椭圆相交于 A B 两点连接 A 1 A A 1 B 并延长分别交直线 x = 4 于 R Q 两点问 R F 2 ⃗ ⋅ Q F 2 ⃗ 是否为定值若是求出此定值若不是请说明理由.
已知点 F 1 0 圆 E : x + 1 2 + y 2 = 8 点 P 是圆 E 上任意一点线段 P F 的垂直平分线和半径 P E 相交于 Q 点.1求动点 Q 的轨迹 Γ 的方程2若直线 l : y = k x + t 与圆 O : x 2 + y 2 = 1 相切并与轨迹 Γ 交于不同的两点 A B . O A ⃗ ⋅ O B ⃗ = μ 且 3 5 ⩽ μ ⩽ 1 求 △ A O B 面积的最大值.
已知椭圆 C 的中心在坐标原点焦点在 x 轴上左顶点为 A 左焦点为 F 1 -2 0 点 B 2 2 在椭圆 C 上直线 y = k x k ≠ 0 与椭圆 C 交于 E F 两点直线 A E A F 分别与 y 轴交于点 M N .1求椭圆 C 的方程2在 x 轴上是否存在点 P 使得无论非零实数 k 怎样变化总有 ∠ M P N 为直角若存在求出点 P 的坐标若不存在请说明理由.
已知曲线 C 的方程是 m x 2 + n y 2 = 1 m > 0 n > 0 且曲线过 A 2 4 2 2 B 6 6 3 3 两点 O 为坐标原点.1求曲线 C 的方程2设 M x 1 y 1 N x 2 y 2 是曲线 C 上两点向量 p → = m x 1 n y 1 q → = m x 2 n y 2 且 p → ⋅ q → = 0 若直线 M N 过点 0 3 2 求直线 M N 的斜率.
已知椭圆 C x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的焦距为 2 3 直线 l 1 y = k x k ≠ 0 与椭圆相交于点 A B 过点 B 且斜率为 1 4 k 的直线 l 2 与椭圆 C 的另一个交点为 D A D ⊥ A B .1求椭圆 C 的方程2设直线 l 2 与 x 轴 y 轴分别相交于点 M N 求 △ O M N 面积的最大值.
已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的焦距为 2 3 直线 l 1 ∶ y = k x k ≠ 0 与椭圆相交于点 A B 过点 B 且斜率为 1 4 k 的直线 l 2 与椭圆 C 的另一个交点为 D A D ⊥ A B .Ⅰ求椭圆 C 的方程Ⅱ设直线 l 2 与 x 轴 y 轴分别相交于点 M N 求 △ O M N 面积的最大值.
如图已知圆 G x - 2 2 + y 2 = 4 9 是椭圆 C x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的内接 △ A B C 的内切圆其中 A -4 0 为椭圆的左顶点.1求椭圆 C 的方程2过点 M 0 1 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E F 两点证明直线 E F 与圆 G 相切.
已知椭圆 C 1 : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的顶点到直线 l 1 : y = x 的距离分别为 2 2 2 .1求 C 1 的标准方程2设平行于 l 1 的直线 l 交 C 1 于 A B 两点若以 A B 为直径的圆恰过坐标原点求直线 l 的方程.
已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 经过点 0 3 离心率为 1 2 且 F 1 F 2 分别为椭圆的左右焦点.Ⅰ求椭圆 C 的方程Ⅱ过点 M -4 0 作斜率为 k k ≠ 0 的直线 l 交椭圆 C 于 B D 两点 N 为 B D 的中点.证明存在实数 k 使得以 F 1 F 2 为直径的圆经过 N 点不要求求出实数 k .
已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的左右焦点分别为 F 1 F 2 上下顶点分别是 B 1 B 2 C 是 B 1 F 2 的中点若 B 1 F 1 ⃗ ⋅ B 1 F 2 ⃗ = 2 且 C F 1 ⃗ ⊥ B 1 F 2 ⃗ .1求椭圆的方程2点 Q 是椭圆上任意一点 A 1 A 2 分别是椭圆的左右顶点直线 Q A 1 Q A 2 与直线 x = 4 3 3 分别交于 E F 两点试证以 E F 为直径的圆与 x 轴交于定点并求该定点的坐标.
已知椭圆 C 的中心在坐标原点焦点在 x 轴上左顶点为 A 左焦点为 F 1 -2 0 点 B 2 2 在椭圆 C 上直线 y = k x k ≠ 0 与椭圆 C 交于 E F 两点直线 A E A F 分别与 y 轴交于点 M N .1求椭圆 C 的方程2以 M N 为直径的圆是否经过定点若经过求出定点的坐标若不经过请说明理由.
已知 O 是坐标原点若椭圆 Γ : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率为 2 2 右顶点为 P 上顶点为 Q △ O P Q 的面积为 2 2 .1求椭圆 Γ 的标准方程2已知点 E 6 0 M N 为椭圆 Γ 上两动点设 ∠ M E N = θ θ > 0 θ ≠ π 2 且满足 △ M E N 的面积等于 - tan θ 证明直线 M N 恒过定点.
已知线性约束条件 y ⩾ 0 x − y + 2 ⩾ 0 x + y − 2 ⩽ 0 所表示的可行域的外接圆 C 1 与 x 轴交于点 A 1 A 2 椭圆 C 2 以线段 A 1 A 2 为长轴离心率 e = 2 2 .1求圆 C 1 及椭圆 C 2 的方程2设椭圆 C 2 的右焦点为 F 点 P 为圆 C 1 上异于 A 1 A 2 的动点过原点 O 作直线 P F 的垂线交直线 x = 2 于点 Q 判断直线 P Q 与圆 C 1 的位置关系并给出证明.
已知椭圆 G x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 在 y 轴上的一个顶点为 M 两个焦点分别是 F 1 F 2 ∠ F 1 M F 2 = 120 ∘ △ M F 1 F 2 的面积为 3 .1求椭圆 G 的方程2过椭圆 G 长轴上的点 P t 0 的直线 l 与圆 O x 2 + y 2 = 1 相切于点 Q Q 与 P 不重合交椭圆 G 于 A B 两点.若 | A Q | = | B P | 求实数 t 的值.
已知椭圆 C 1 y 2 a 2 + x 2 = 1 a > 1 与抛物线 C 2 x 2 = 8 y 有相同的焦点 F 1 .Ⅰ求椭圆 C 1 的标准方程Ⅱ已知直线 l 1 过椭圆 C 1 的另一焦点 F 2 且与抛物线 C 2 相切于第一象限的点 A 设平行 l 1 的直线 l 交椭圆 C 1 于 B C 两点当 △ O B C 面积最大时求直线 l 的方程.
已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率 e = 6 3 直线 y = x 与椭圆交于 A B 两点 C 为椭圆的右顶点 O A ⃗ ⋅ O C ⃗ = 3 2 .1求椭圆的方程2若椭圆上存在两点 E F 使 O E ⃗ + O F ⃗ = λ O A ⃗ λ ∈ 0 2 求 △ O E F 面积的最大值.
在直角坐标系 x O y 中椭圆 C 1 : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的左右焦点分别为 F 1 F 2 .其中 F 2 也是抛物线 C 2 : y 2 = 4 x 的焦点点 M 为 C 1 和 C 2 在第一象限的交点且 | M F 2 | = 5 3 .1求椭圆的方程2若过点 D 4 0 的直线 l 与 C 1 交于不同的两点 A B 且 A 在 D B 之间试求 △ A O D 与 △ B O D 面积之比的取值范围.
在平面直角坐标系 x O y 中椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率为 2 2 且过点 A 6 1 点 P 在椭圆 C 上且在第一象限内直线 P Q 与圆 O : x 2 + y 2 = b 2 相切于点 M .1求椭圆 C 的方程2若 O P ⊥ O Q 求点 Q 的纵坐标的值.
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