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某学校拟建一座长 60 米，宽 30 米的矩形体育馆.按照建筑要求，每隔 x 米需打建一个桩位，每个桩位需花费 4.5 万元(桩位视为一点且打在矩形的边上)，桩位之间的 ...
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高中数学《利用导数研究函数的极值、最值》真题及答案
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1求函数 f x = 8 cos x - 6 cos 2 x + cos 4 x 在 [ 0 π 3 上的最小值2设 x ∈ 0 π 3 证明 4 3 sin x − 1 6 sin 2 x < x < 8 3 sin x − sin 2 x + 1 12 sin 4 x 3设 n 为偶数且 n ⩾ 6 .单位圆的内接正 n 边形面积记为 S n .ⅰ证明 4 3 S 2 n − 1 3 S n < π < 8 3 S 2 n − 2 S n + 1 3 S n 2 ⅱ已知 1.732 < 3 < 1.733 3.105 < S 24 < 3.106 证明 3.14 < π < 3.15 .
已知函数 f x = x 2 e x - ln x . ln 2 ≈ 0.6931 e ≈ 1.649 Ⅰ当 x ⩾ 1 时判断函数 f x 的单调性Ⅱ证明当 x > 0 时不等式 f x > 1 恒成立.
已知函数 f x = 2 ln x - x 2 + a x a ∈ R .1若函数 f x 的图象在 x = 2 处切线的斜率为 -1 且不等式 f x ⩾ 2 x + m 在 [ 1 e e] 上有解求实数 m 的取值范围2若函数 f x 的图象与 x 轴有两个不同的交点 A x 1 0 B x 2 0 且 0 < x 1 < x 2 求证 f ′ x 1 + x 2 2 < 0 其中 f ' x 是 f x 的导函数.
设函数 f x = e x ln x e 是自然对数的底数.1求曲线 y = f x 在点 1 f 1 处的切线方程2令 Q x = 1 - 2 e x e x 证明当 x > 0 时 f x > Q x 恒成立.
正项等比数列 a n 中的 a 1 a 4031 是函数 f x = 1 3 x 3 - 4 x 2 + 6 x - 3 的极值点则 log 6 a 2016 =
已知函数 f x = ln 2 x x .1求 f x 在 [ 1 a ] a > 1 上的最小值2若关于 x 的不等式 f 2 x + m f x > 0 只有两个整数解求实数 m 的取值范围.
已知 m ∈ R 函数 f x = e m x − 1 − ln x x e 为自然对数的底数.1若 m = 1 求函数 f x 的单调区间2若 f x 的最小值为 m 求 m 的最小值.
设函数 f x = e x + ln x + 1 - a x .1当 a = 2 时证明函数 f x 在定义域内单调递增2当 x ⩾ 0 时 f x ⩾ cos x 恒成立求实数 a 的取值范围.
已知函数 f x = a + ln x x 的图象在点 1 f 1 处的切线与 x 轴平行.1求实数 a 的值及 f x 的极值2若对任意 x 1 x 2 ∈ [ e 2 + ∞ 有 | f x 1 - f x 2 x 1 - x 2 | > k x 1 ⋅ x 2 求实数 k 的取值范围.
已知 f x = e x - a x 2 - 2 x + b e 为自然对数的底数 a b ∈ R .1设 f ' x 为 f x 的导函数证明当 a > 0 时 f ' x 的最小值小于 0 2若 a < 0 f x > 0 恒成立求符合条件的最小整数 b .
已知函数 f x = 1 e x - a x x ∈ R .1当 a = - 2 时求函数 f x 的单调区间2若 a > 0 且 x > 0 时 f x ⩽ | ln x | 求 a 的取值范围.
已知函数 f x = 2 ln x - a x g x = x 2 .1若函数 f x 在 2 f 2 处的切线与函数 g x 在 2 g 2 处的切线互相平行求实数 a 的值2设函数 H x = f x - g x .ⅰ当实数 a ⩾ 0 时试判断函数 y = H x 在 [ 1 + ∞ 上的单调性ⅱ如果 x 1 x 2 x 1 < x 2 是 H x 的两个零点 H ' x 为函数 H x 的导函数证明 H ′ x 1 + x 2 2 < 0 .
已知偶函数 f x 是定义在 R 上的可导函数其导函数为 f ' x 当 x < 0 时有 2 f x + x f ' x > x 2 则不等式 x + 2014 2 f x + 2014 - 4 f -2 < 0 的解集为
已知函数 f x = x ln x - k x k ∈ R 其图象与 x 轴交于不同的两点 A x 1 0 B x 2 0 且 x 1 < x 2 .1求实数 k 的取值范围2证明 x 1 + x 2 < 2 e .
已知函数 f x = 2 - a x - 1 - 2 ln x g x = e x e x a ∈ R e 为自然对数的底数.1当 a = 1 时求 f x 的单调区间2若对任意给定的 x 0 ∈ 0 e ] 在 0 e ] 上总存在两个不同的 x i i = 1 2 使得 f x i = g x 0 成立求 a 的取值范围.
已知函数 f x = a − 1 x − ln x 其中 a 为常数.1若 f x = 0 恰有一个解求 a 的值2①若函数 g x = a − 1 x − 2 x − p x + p − f x − ln p 其中 p 为常数.试判断函数 g x 的单调性②若 f x 恰有两个零点 x 1 x 2 x 1 < x 2 求证 x 1 + x 2 < 3 e a - 1 - 1 .
若关于 x 的不等式 m e x x ⩾ 6 − 4 x 在 0 + ∞ 上恒成立则实数 m 的取值范围为
在正三棱锥 V - A B C 内有一半球其底面与正三棱锥的底面重合且与正三棱锥的三个侧面都相切若半球的半径为 2 则正三棱锥的体积最小时其高等于____________.
设函数 f x = x 3 - a x 2 + 2 b x + 1 的导函数为 f ' x 若函数 f ' x 的图象关于直线 x = 2 3 对称且当 x ∈ [ 1 π ] 时恒有 f x ⩾ 1 则实数 b 的取值范围为
已知函数 f x = a x e - x + a - 1 ln x 其中 a 是常数 e 是自然对数的底数且 f x 在 x = 1 处的切线 l 的方程为 e y = 1 .1写出函数 f x 的定义域并求函数 f x 的单调区间和最值2设 F x = x e - x x ∈ R 如果 x 1 ≠ x 2 且 F x 1 = F x 2 证明 x 1 + x 2 > 2 .
设函数 f x = e x + m x x ≠ 0 m ≠ 0 在 x = 1 处的切线与 e - 1 x - y + 2016 = 0 平行 k f s ⩾ t ln t + 1 在 s ∈ 0 + ∞ t ∈ 1 e] 上恒成立则实数 k 的取值范围为________.
已知函数 f x = 1 3 x 2 − 1 2 a + 2 x 2 + x a ∈ R .1当 a = 0 时记 f x 图象上动点 P 处的切线斜率为 k 求 k 的最小值2设函数 g x = e - e x x e 为自然对数的底数若对于 ∀ x > 0 f ′ x ⩾ g x 恒成立求实数 a 的取值范围.
已知函数 f x = sin x - x cos x .现有下列结论① ∀ x ∈ [ 0 π ] f x ⩾ 0 ②若 0 < x 1 < x 2 < π 则 x 1 x 2 < sin x 1 sin x 2 ③若 a < sin x x < b 对 ∀ x ∈ 0 π 2 恒成立则 a 的最大值为 2 π b 的最小值为 1 .其中正确结论的个数为
已知函数 f x = x e x - a ln x 曲线 y = f x 在点 1 f 1 处的切线平行于 x 轴.1求 f x 的单调区间2证明当 b ⩽ e 时 f x ⩾ b x 2 − 2 x + 2 .
已知函数 f x = e x x 2 - m x + 1 .1若 m ∈ -2 2 求函数 y = f x 的单调区间2若 m ∈ 0 1 2 ] 则当 x ∈ [ 0 m + 1 ] 时函数 y = f x 的图象是否总在直线 y = x 上方请写出判断过程.
已知函数 f x = 2 ln x + x - a x 2 g x = x ln x - 3 + 1 - a x 2 .1若函数 f x 在 [ 1 4 ] 上单调递增求实数 a 的取值范围2设函数 h x = f x - g ' x 试讨论函数 y = h x x ∈ [ 1 4 ] 的零点个数.
已知函数 f x = - x 3 + a x - 1 4 g x = e x - e e 为自然对数的底数.Ⅰ若曲线 y = f x 在 0 f 0 处的切线与曲线 y = g x 在 0 g 0 处的切线互相垂直求实数 a 的值Ⅱ设函数 h x = f x f x ⩾ g x g x f x < g x 试讨论函数 h x 零点的个数.
已知函数 f x = 1 2 x 2 - 2 a + 2 x + 2 a + 1 ln x .1若曲线 y = f x 在点 2 f 2 处的切线的斜率小于 0 求 f x 的单调区间2对任意的 a ∈ [ 3 2 5 2 ] 函数 g x = f x - λ x 在区间 [ 1 2 ] 上为增函数求 λ 的取值范围.
已知函数 f x = - ln x + t x - 1 t 为实数.1当 t = 1 时求函数 f x 的单调区间2若当 t = 1 2 时 k x - 1 2 - f x < 0 在 1 + ∞ 上恒成立求实数 k 的取值范围.
设 f x = a x + b e -2 x 曲线 y = f x 在点 0 f 0 处的切线方程为 x + y - 1 = 0 .1求 a b 2设 g x = f x + x ln x 证明当 0 < x < 1 时 2 e -2 - e -1 < g x < 1 .
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