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国家统考科目《单项选择》真题及答案
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求极限
设fx在[ab]上连续在ab内可导又b>a>0求证存在ξη∈ab使得
如图6-1设曲线段L是抛物线y=6-2x2在第一象限内的部分.在L上求一点M使过M点L的切线AB与两坐标轴和L所围图形的面积为最小.
设函数fx在[01]上连续在01内可导且f1=0.求证至少存在一点ξ∈01使得2ξ+1fξ+ξf’ξ=0.
判断下列反常积分的敛散性如果是收敛的要求出反常积分的值.
设函数fx在-∞+∞上连续f0=0且对任何xt∈-∞+∞满足.试求fx在-∞+∞上的导函数f’x.
设函数fx在x=0的某邻域中二阶可导且求f0f’0与f0之值.
设函数fx在[01]上连续在01内可导且f0=00<f’x<10<x<1.求证
设x∈-∞+∞求
设fx在包含原点在内的某区间ab内有二阶导数且a<x<b证明fx≥xa<x<b.
设函数fx与gx都可导且Fx=gx|fx|求证Ⅰ当fx0≠0时Fx在点x=x0处必可导Ⅱ当fx0=0时Fx在点x=x0处可导的充分必要条件是f’x0gx0=0.
证明当x>0时x2-1lnx≥2x-12.
设fx在[-11]上具有三阶连续导数且f-1=0f1=1f’0=0求证使f’ξ=3.
反常积分
设函数fx在[01]二阶可导且f0=f’0=f’1=0f1=1.求证存在ξ∈01使|fξ|≥4.
求函数fx=x+2cosx在上的最大值和最小值.
求下列不定积分
设n是正整数则
设函数fx在闭区间[01]上连续在开区间01内可导且f0=f1=1.求证对任何满足0<k<1的常数k存在ξ∈01使f’ξ=-k.
设fx是区间[ab]上单调减少的连续函数且fx>0在[ab]上成立.求证在ab内存在唯一的c使在区间[ac]上以y=fx为曲边的曲边梯形的面积与在[cb]上以fc为高的矩形面积相等.
求下列函数的n阶导数Ⅰy=ln6x2+7x-3n≥1Ⅱy=sin22xn≥1.
求e-x2与x2+1e-x2的带皮亚诺余项的麦克劳林公式.
求
求下列积分
如图13-2设单位圆x2+y2=1上点Mx0y0处的切线L与抛物线y=x2-2围成的图形的面积S达到最小求点M的坐标和切线L的方程.
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