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已知 f x 是可导的函数，且 f ' x
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高中数学《导数与不等式》真题及答案
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.已知函数fx是定义在R.上的可导函数其导函数记为f′x若对于任意实数x有fx＞f′x且y=fx﹣1
（﹣∞，0）
（0，+∞）
（﹣∞，e
4
）
（e
4
，+∞）
已知定义在R.上的可导函数fx的导函数为f′x满足f′x＜fx且fx+2为偶函数f4=1则不等式fx
（﹣2，+∞）
（0，+∞）
（1，+∞）
（4，+∞）
给出定义若函数fx在D.上可导即f′x存在且导函数f′x在D.上也可导则称函数fx在D.上存在二阶导
f(x)＝sin x＋cos x
f(x)＝ln x－2x
f(x)＝－x
3
＋2x－1
f(x)＝－xe
－x
已知函数fx是定义在R.上的可导函数其导函数为f′x若对任意实数x有fx＞f′x且y=fx﹣1的图象
已知fx与gx是定义在R.上的两个可导函数若fxgx满足f′x＝g′x则fx与gx满足
f(x)＝g(x)
f(x)＝g(x)＝0
f(x)－g(x)为常数函数
f(x)＋g(x)为常数函数
设函数fx在开区间ab内可导证明当导函数f’x在ab内有界时函数fx在ab内也有界．
已知定义在R.上的可导函数fx的导函数为f'x若对于任意实数x有fx-f'x>0且y=fx-1为奇函
(-∞,0)
(0,+∞)
(-∞,e
4
)
(e
4
,+∞)
已知函数fx及fx的导函数f′x求［fx+3］2的导数.
证明下列命题:1若函数fx可导且为周期函数则f'x也为周期函数2可导的奇函数的导函数是偶函数.
设函数fx可导函数gx连续且当fx≠0时gx可导求证Ⅰ当fx0≠0时Fx=|fx|gx在点x=x0处
已知y＝fx是可导函数如图直线y＝kx＋2是曲线y＝fx在x＝3处的切线令gx＝xfxg′x是gx的
－1
0
2
4
设函数fx在x=x0的某邻域内连续在x=x0处可导则函数fx|fx|在x=x0处
可导，且导数为2f(x)f'(x
0
)
可导，且导数为2f(x
0
)
f'(x
0
)
可导，且导数为2
f(x
0
)
f'(x
0
)
不可导
下列命题正确的是
若函数f(x)在x=a处连续，则函数f(x)在x=a的邻域内连续
若函数f(x)在x=a处可导，则函数f(x)在x=a的邻域内可导
若函数f(x)处处可导，则其导函数处处连续
若函数f(x)在x=a处连续，在其去心邻域内可导，且[*]存在，则f(x)在x=a处可导
已知函数fx在x=1处可导且则f′1等于
1
2／3
2
-2／3
已知函数y＝fx在定义域上可导其图象如图记y＝fx的导函数y＝f′x则不等式xf′x≤0的解集是__
已知函数fxgx均为[ab]上的可导函数在[ab]上连续且f′x
f(a)－g(a)
f(b)－g(b)
f(a)－g(b)
f(b)－g(a)
设函数fx定义在[ab]上正确的是
f(x)可导，则f(x)连续
f(x)不可导，则f(x)不连续
f(x)连续，则f(x)可导
f(x)不连续，则f(x)可导
已知fxgx连续可导且f’x=gxg＇x=fx+ψx其中ψx为某已知连续函数gx满足微分方程g＇x-
已知函数fx是R.上的可导函数且f′x=1+cosx则函数fx的解析式可以为.只须写出一个符合题意的
已知y=fx为R上的连续可导函数且xf′x+fx＞0则函数gx=xfx+1x＞0的零点个数为
0
1
0或1
无数个
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已知函数 f x = x 3 - a x a ∈ R .Ⅰ求函数 f x 的单调区间Ⅱ求证 x f x + a x ⋅ e − x + x ln x > 3 2 e x − e x − 2 .
已知双曲线 x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 a > 0 b > 0 上一点 C 过双曲线中心的直线交双曲线于 A B 两点记直线 A C B C 的斜率分别为 k 1 k 2 当 2 k 1 k 2 + ln | k 1 | + ln | k 2 | 最小时双曲线离心率为
某学校拟建一座长 60 米宽 30 米的矩形体育馆.按照建筑要求每隔 x 米需打建一个桩位每个桩位需花费 4.5 万元桩位视为一点且打在矩形的边上桩位之间的 x 米墙面需花 2 + 3 x x 万元在不计地板和天花板的情况下当 x 为何值时所需总费用最少
定义对于函数 f x x ∈ M ⊆ R 若 f x < f ' x 对定义域内的 x 恒成立则称函数 f x 为 ϕ 函数.Ⅰ证明函数 f x = e x ln x 为 ϕ 函数Ⅱ对于定义域为 0 + ∞ 的 ϕ 函数 f x 求证对于定义域内的任意正数 x 1 x 2 x n 均在 f ln x 1 + x 2 + + x n > f ln x 1 + f ln x 2 + + f ln x n
设函数 f x = a x + cos x x ∈ 0 π Ⅰ讨论 f x 的单调性 Ⅱ设 f x ≤ 1 + sin x 求 a 的取值范围.
已知函数 f x = a ln x − 1 x a ∈ R . 1 若曲线 y = f x 在点 1 f 1 处的切线与直线 x + 2 y = 0 垂直求 a 的值. 2 求函数 f x 的单调区间; 3 当 a = 1 且 x ≥ 2 时证明: f x - 1 ≤ 2 x - 5.
设函数 f x = a 2 x 2 a > 0 g x = b ln x .1若函数 y = f x 图像上的点到直线 x - y - 3 = 0 的距离的最小值为 2 求 a 的值;2关于 x 的不等式 x - 1 2 > f x 的解集中的整数恰有 3 个求实数 a 的取值范围3对于函数 f x 与 g x 定义域上的任意实数 x 若存在常数 k m 使得 f x ≥ k x + m 和 g x ≤ k x + m 都成立则直线 y = k x + m 为函数 f x 与 g x 的分界线.设 a = 2 2 b = e 试探究 f x 与 g x 是否存在分界线若存在求出分界线的方程若不存在请说明理由.
已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上当正六棱柱的体积最大时其高为____________.
已知 f x 是定义域为 R 的奇函数且 f 2 = 0 当 x > 0 时 2 f x + x f ′ x > 0 则不等式 f x > 0 的解集为________.
f ' x 0 = 0 是可导函数 y = f x 在点 x = x 0 处有极值的____________条件.
已知函数 f x = x ln x - a x g x = - x 2 - 2 .1对一切 x ∈ 0 + ∞ f x ⩾ g x 恒成立求实数 a 的取值范围2当 a = - 1 时求函数 f x 在 [ m m + 3 ] m > 0 上的最小值.
已知函数 f x = x 3 - 3 x 过点 A 1 m 可作曲线 y = f x 的三条切线则实数 m 的取值范围是____________.
已知函数 f x = x ln x x > 0 x ≠ 1 .1求函数 f x 的极值2若不等式 e x a > x 对任意实数 x 恒成立求实数 a 的取值范围.
已知奇函数 f x 的导函数 f ' x = 1 - cos x x ∈ -1 1 .满足 f 1 - x 2 + f 1 − x < 0 则实数 x 的取值范围是
设函数 f x = x 2 + a x + b g x = e x c x + d 若曲线 y = f x 和曲线 y = g x 都过点 P 0 2 且点 P 处有相同的切线 y = 4 x + 2 .1求 a b c d 的值2若 x ⩾ − 2 时 f x ⩽ k g x 恒成立求实数 k 的取值范围.
如图已知正方形 A B C D 的边长为 1 过它的中心 O 的直线 M N 分别交边 A B C D 于点 M N 当 M N B N 取最小值时 C N = ____________.
对于函数 y = f x 若存在区间 [ a b ] 当 x ∈ [ a b ] 时的值域为 [ k a k b ] k > 0 则称 y = f x 为 k 倍值函数.若函数 f x = ln x + x 是 k 倍值函数则实数 k 的取值范围是____________________.
设函数 f x = a ln x + 1 - a 2 x 2 - b x a ≠ 1 曲线 y = f x 在点 1 f 1 处的切线斜率为 0 . 1求 b 2若存在 x 0 ≥ 1 使得 f x 0 < a a - 1 求 a 的取值范围.
已知函数 f x = ln x + k e x k 为常数 e=2.71828 ⋯ 是自然对数的底数 曲线 y = f x 在点 1 f 1 处的切线与 x 轴平行. Ⅰ求 k 的值 Ⅱ求 f x 的单调区间 Ⅲ设 g x = x f ' x 其中 f ' x 为 f x 的导函数.证明对任意 x > 0 g x < 1 + e -2 .
已知函数 f x = e x - a x a 为常数的图象与 y 轴交于点 A 曲线 y = f x 在点 A 处的切线斜率为 -1 . 1求 a 的值及函数 f x 的极值 2证明当 x > 0 时 x 2 < e x ; 3证明对任意给定的正数 c 总存在 x 0 使得当 x ∈ x 0 + ∞ 时恒有 x 2 ＜ c e x .
已知函数 f x = ln x + k e x k 为常数 e=2.71828 是自然数对数的底数曲线 y = f x 在点 1 f 1 处的切线与 x 轴平行. Ⅰ求 k 的值 Ⅱ求 f x 的单调区间 ; Ⅲ设 g x = x 2 + x f ' x 其中 f ' x 为 f x 的导函数.证明 : 对任意 x > 0 g x < 1 + e -2 .
已知函数 f x = x 2 ln x . Ⅰ求函数 f x 的单调区间Ⅱ证明对任意的 t > 0 存在唯一的 s 使 t = f s .Ⅲ设Ⅱ中所确定的 s 关于 t 的函数为 s = g t 证明当 t > e 2 时有 2 5 < ln g t ln t < 1 2 .
现有长度为 48 m 的钢管和面积为 S m 2 的铁皮用钢管焊接一个长方体框架再用铁皮围在框架的六个表面做成一个长方体水箱不考虑裁剪和焊接的损失.1无论如何焊接长方体若要确保铁皮够用求铁皮面积 S 的取值范围2若铁皮面积为 90 m 2 如何设计长方体的尺寸才能使水箱容积最大并求最大容积.
函数 y = x + 2 cos x 在区间 [ 0 π 2 ] 上的最大值是____________.
已知函数 f x = x cos x - sin x x ∈ [ 0 π 2 ] .1求证 f x ⩽ 0 2若 a < sin x x < b 对任意 x ∈ 0 π 2 恒成立求 a 的最大值与 b 的最小值.
若函数 y = f x 在 x = x 0 处取得极大值或极小值则称 x 0 为函数 y = f x 的极值点已知 a b 是实数 1 和 -1 是函数 f x = x 3 + a x 2 + b x 的两个极值点.1求 a 和 b 的值2设函数 g x 的导函数 g ' x = f x + 2 求 g x 的极值点3设 h x = f f x - c 其中 c ∈ [ -2 2 ] 求函数 y = h x 的零点个数.
已知函数 f x = x ln x - a x g x = - x 2 - 2 .1对一切 x ∈ 0 + ∞ f x ⩾ g x 恒成立求实数 a 的取值范围2当 a = - 1 时求函数 f x 在 [ m m + 3 ] m > 0 上的最值3证明对一切 x ∈ 0 + ∞ 都有 ln x + 1 > 1 e x - 2 e x 成立.
已知 △ A B C 的外接圆半径为 1 角 A B C 的对边分别为 a b c .向量 m → = a 4 cos B n → = cos A b 满足 m → // n → .1求 sin A + sin B 的取值范围2若 A ∈ 0 π 3 且实数 x 满足 a b x = a - b 试确定 x 的取值范围.
已知 f x = x 3 − 9 2 x 2 + 6 x − a b c a < b < c 且 f a = f b = f c = 0 现给出如下结论:① f 0 f 1 > 0 ② f 0 f 1 < 0 ③ f 0 f 2 > 0 ④ f 0 f 2 < 0 .其中正确结论的序号为
设 a ∈ -2 0 已知函数 f x = x 3 − a + 5 x x ≤ 0 x 3 − a + 3 2 x 2 + a x x > 0. Ⅰ证明 f x 在区间 -1 1 内单调递减在区间 1 + ∞ 内单调递增 Ⅱ设曲线 y = f x 在点 P 1 x 1 f x 1 i = 1 2 3 处的切线相互平行且 x 1 x 2 x 3 ≠ 0证明 x 1 + x 2 + x 3 > − 1 3 .
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