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求f(x,y)在(0,0)点处一阶偏导数f’x(0,0)和f’x(0,0).

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f(0)>1,f″(0)>0  f(0)>1,f″(0)<0  f(0)<1,f″(0)>0  f(0)<1,f″(0)<0  
f′(x0)=0  f″(x0)>0  f′(x0)=0且f″(x0)>0  f′(x0)=0或导数不存在  
g(0,0)=0.  
(x,y)存在.  

(x,y)存在且g(0,0)=0.  
g(x,y)在点(0,0)处连续,且g(0,0)=0.  
充分条件  必要条件  充要条件  既非充分,又非必要条件  
若z=f(x,y)在M0(x0,y0)处存在偏导数,则它在M,点必连续  若z=f(x,y)在M0点可微,则它在M0点的一阶偏导数连续  若z=f(x,y)在M0点存在二阶偏导数,则它在M0处的一阶偏导数连续  若z=f(x,y)在M0点不连续,则它在M0点不可微  
g(0,0)=0.  (x,y)存在.  (x,y)存在且g(0,0)=0.  g(x,y)在点(0,0)处连续且g(0,0)=0.  
不连续  连续,但偏导数不存在  偏导数存在,但不可微  可微  
充分条件  必要条件  充要条件  既非充分,又非必要条件  
不连续  连续,但偏导数f’x(0,0)和f’y(0,0)不存在  连续,且偏导数f’x(0,0)和f’y(0,0)都存在  可微  
f(x,y)在点(x0,y0)的一阶偏导数连续的充分条件是f(x,y)在点(x0,y0)可微  f(x,y)在点(x0,y0)连续的充分条件是f(x,y)在点(x0,y0)的一阶偏导数存在  f'(x,y)在点(x0,y0)有界的充分条件是f(x,y)在点(x0,y0)的一阶偏导数连续  f(x,y)在点(x0,y0)可微的充要条件是f(x,y)在点(x0,y0)的一阶偏导数存在  
连续,不可偏导.  不连续,可偏导.  可微.  不可微.  
必要条件  充分条件  充要条件  无关条件  
g(0,0)=0.  存在.  存在且g(0,0)=0.  g(x,y)在点(0,0)处连续且g(0,0)=0.  

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