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f(0)>1,f″(0)>0 f(0)>1,f″(0)<0 f(0)<1,f″(0)>0 f(0)<1,f″(0)<0
f′(x0)=0 f″(x0)>0 f′(x0)=0且f″(x0)>0 f′(x0)=0或导数不存在
g(0,0)=0.
(x,y)存在.
(x,y)存在且g(0,0)=0. g(x,y)在点(0,0)处连续,且g(0,0)=0.
充分条件 必要条件 充要条件 既非充分,又非必要条件
若z=f(x,y)在M0(x0,y0)处存在偏导数,则它在M,点必连续 若z=f(x,y)在M0点可微,则它在M0点的一阶偏导数连续 若z=f(x,y)在M0点存在二阶偏导数,则它在M0处的一阶偏导数连续 若z=f(x,y)在M0点不连续,则它在M0点不可微
g(0,0)=0. (x,y)存在. (x,y)存在且g(0,0)=0. g(x,y)在点(0,0)处连续且g(0,0)=0.
不连续 连续,但偏导数不存在 偏导数存在,但不可微 可微
充分条件 必要条件 充要条件 既非充分,又非必要条件
不连续 连续,但偏导数f’x(0,0)和f’y(0,0)不存在 连续,且偏导数f’x(0,0)和f’y(0,0)都存在 可微
f(x,y)在点(x0,y0)的一阶偏导数连续的充分条件是f(x,y)在点(x0,y0)可微 f(x,y)在点(x0,y0)连续的充分条件是f(x,y)在点(x0,y0)的一阶偏导数存在 f'(x,y)在点(x0,y0)有界的充分条件是f(x,y)在点(x0,y0)的一阶偏导数连续 f(x,y)在点(x0,y0)可微的充要条件是f(x,y)在点(x0,y0)的一阶偏导数存在
连续,不可偏导. 不连续,可偏导. 可微. 不可微.
g(0,0)=0. 存在. 存在且g(0,0)=0. g(x,y)在点(0,0)处连续且g(0,0)=0.