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已知 F 为抛物线 y 2 = x 的焦点，点 A , B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧， ...
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高中数学《最值问题》真题及答案
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已知点F.为抛物线y2=﹣8x的焦点O.为原点点P.是抛物线准线上一动点点A.在抛物线上且|AF|=
已知抛物线ωy2=axa＞0上一点P.t2到焦点F.的距离为2tⅠ求抛物线ω的方程Ⅱ如图已知点D.的
已知F.是抛物线y2=x的焦点A.B.是该抛物线上的两点|AF|+|BF|=3则线段AB的中点到y轴
已知一条抛物线的形状与抛物线y=2x2+3形状相同与另一条抛物线y=﹣x+12﹣2的顶点坐标相同这条
已知抛物线C的解析式为y=ax2+bx+c则下列说法中错误的是
a确定抛物线的形状与开口方向
若将抛物线C沿y轴平移，则a，b的值不变
若将抛物线C沿x轴平移，则a的值不变
若将抛物线C沿直线l：y=x+2平移，则a、b、c的值全变
如图1平移抛物线F.1y＝x2后得到抛物线F.2.已知抛物线F.2经过抛物线F.1的顶点M.和点A.
已知抛物线y2=8x的焦点为F.直线y=kx+2与抛物线交于
，
两点，则直线FA与直线FB的斜率之和为 A.0B.2
－4
4
已知M.为抛物线y2=4x上一动点F.为抛物线的焦点定点P31求MP+MF的最小值.
已知A.是抛物线y2=4x上一点F.是抛物线的焦点直线FA交抛物线的准线于点B.点B.在x轴上方若|
已知抛物线y2=2px的焦点为F.准线方程是x=﹣1.I.求此抛物线的方程Ⅱ设点M.在此抛物线上且|
已知抛物线py=ax2+bx+c的顶点为C.与x轴相交于A.B.两点点A.在点B.左侧点C.关于x轴
已知F.是抛物线y2=x的焦点A.B.是该抛物线上的两点则线段AB的中点到y轴的距离为_______
已知抛物线C://y2=2pxp＞0的焦点为F直线y=4与y轴的交点为P与C的交点为Q且 求
已知抛物线y2=2pxp＞0的焦点F.位于直线x+y﹣1=0上.Ⅰ求抛物线方程Ⅱ过抛物线的焦点F.作
已知抛物线y=ax2+bx+c与y交于C.点顶点为M.直线CM的解析式为y=-x+3并且线段CM的长
已知抛物线y2＝2pxp>0的焦点为F.A.是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点A.到抛物线准线的
已知抛物线py=ax2+bx+c的顶点为C.与x轴相交于A.B.两点点A.在点B.左侧点C.关于x轴
已知直线y=kx+2k>0与抛物线C.:y2=8x相交于A.B两点F为抛物线C.的焦点若FA=2FB
已知抛物线y=ax2+bx+c其中a0c>0则抛物线的开口方向______抛物线与x轴的交点是在原点
已知直线ly＝kx－2与抛物线C.y2＝8x交于A.B.两点F.为抛物线C.的焦点若|AF|＝3|B
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已知抛物线 C : y 2 = 2 p x p > 0 的焦点为 F A 为 C 上异于原点的任意一点过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B 交 x 轴的正半轴于点 D 且有 | F A | = | F D | .当点 A 的横坐标为 3 时 △ A D F 为正三角形.1求 C 的方程.2若直线 l 1 // l 且 l 1 和 C 有且只有一个公共点 E ①证明直线 A E 过定点并求出定点坐标② △ A B E 的面积是否存在最小值若存在请求出最小值若不存在请说明理由.
在平面直角坐标系 x O y 中 E F 两点的坐标分别为 0 1 0 -1 动点 G 满足:直线 E G 与直线 F G 的斜率之积为 - 1 4 ．1求动点 G 的轨迹方程2设 A B 为动点 G 的轨迹的左右顶点 P 为直线 l : x = 4 上的一动点点 P 不在 x 轴上连结 A P 交 G 的轨迹于 C 点连 P B 并延长交 G 的轨迹于 D 点试问直线 C D 是否过定点若成立请求出该定点坐标若不成立请说明理由．
已知椭圆 C x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率为 2 2 点 2 2 在 C 上．1求 C 的方程2直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴 l 与 C 有两个交点 A B 线段 A B 的中点为 M .证明直线 O M 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
已知抛物线 y 2 = 2 p x p > 0 的焦点为 F 经过点 F 的直线交抛物线于 A B 两点点 C 在抛物线的准线上且 B C // x 轴证明直线 A C 经过原点 O .
已知矩阵 M = 2 1 1 a 的一个特征值是3求直线 x - 2 y - 3 = 0 在 M 作用下的直线方程.
已知椭圆 C 1 的中心为原点 O 离心率 e = 2 2 其一个焦点在抛物线 C 2 : y 2 = 2 p x 的准线上若抛物线 C 2 与直线 l : x - y + 2 = 0 相切.1求该椭圆的标准方程2当点 Q u v 在椭圆 C 1 上运动时设动点 P 2 v - u u + v 的运动轨迹为 C 3 .若点 T 满足 O T ⃗ = M N ⃗ + 2 O M ⃗ + O N ⃗ 其中 M N 是 C 3 上的点直线 O M 与 O N 的斜率之积为 − 1 2 试说明是否存在两个定点 F 1 F 2 使得 | T F 1 | + | T F 2 | 为定值若存在求 F 1 F 2 的坐标若不存在请说明理由.
如图椭圆 E : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 经过点 A 0 -1 且离心率为 2 2 . Ⅰ求椭圆 E 的方程 Ⅱ经过点 1 1 且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同两点 P Q 均异于点 A 证明直线 A P 与 A Q 的斜率之和为 2 .
如图所示已知点 F 1 0 直线 l : x = - 1 P 为平面上的一动点过 P 作直线 l 的垂线垂足为点 Q 且 Q P ⃗ ⋅ Q F ⃗ = F P ⃗ ⋅ F Q ⃗ .1求动点 P 的轨迹 C 的方程2过点 F 的直线交轨迹 C 于 A B 两点交直线 l 于点 M .已知 M A ⃗ = λ 1 A F ⃗ M B ⃗ = λ 2 B F ⃗ 求 λ 1 + λ 2 的值.
如图在平面直角坐标系中 M N 分别是椭圆 x 2 4 + y 2 2 = 1 的顶点过坐标原点的直线交椭圆于 P A 两点其中点 P 在第一象限.过点 P 作 x 轴的垂线垂足为 C 连接 A C 并延长交椭圆于点 B .设直线 P A 的斜率为 k . 1若直线 P A 平分线段 M N 求实数 k 的值 2当 k = 2 时求点 P 到直线 A B 的距离 d 3对任意的 k > 0 求证 P A ⊥ P B .
如图 F 1 F 2 为双曲线 C : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 a > 0 b > 0 的两个焦点焦距 | F 1 F 2 | = 6 过左焦点 F 1 作垂直于 x 轴的直线与双曲线 C 相交于 A B 两点且 △ A B F 2 为等边三角形.1求双曲线 C 的方程2设 T 为直线 x = 1 上任意一点过右焦点 F 2 作 T F 2 的垂线交双曲线 C 于 P Q 两点求证直线 O T 平分线段 P Q 其中 O 为坐标原点3是否存在过右焦点 F 2 的直线 l 它与双曲线 C 的两条渐近线分别相交于 R S 两点且使得 △ F 1 R S 的面积为 6 2 若存在求出直线 l 的方程若不存在请说明理由.
平面直角坐标系 x O y 中椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率是 3 2 抛物线 E : x 2 = 2 y 的焦点 F 是 C 的一个顶点.1求椭圆 C 的方程2设 P 是 E 上的动点且位于第一象限 E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A B 线段 A B 的中点为 D 直线 O D 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M .①求证点 M 在定直线上②直线 l 与 y 轴交于点 G 记 △ P F G 的面积为 S 1 △ P D M 的面积为 S 2 求 S 1 S 2 的最大值及取得最大值时点 P 的坐标.
已知椭圆 C x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > 0 b > 0 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形直线 x + y + 2 2 - 1 = 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．1求椭圆 C 的方程2设点 B C D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点点 B 与点 D 关于原点 O 对称．设直线 C D C B O B O C 的斜率分别为 k 1 k 2 k 3 k 4 且 k 1 k 2 = k 3 k 4 ．i求 k 1 k 2 的值ii 求 O B 2 + O C 2 的值．
椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率为 1 2 其左焦点到点 P 2 1 的距离为 10 .1求椭圆 C 的标准方程2若直线 l : y = k x + m 与椭圆 C 相交于 A B 两点 A B 不是左右顶点且以 A B 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点．求证直线 l 过定点并求出该定点的坐标.
已知矩阵 A = 1 2 1 1 向量 β → = 2 1 求向量 α → 使得 A 2 α → = β → .
已知抛物线 y 2 = 2 p x p > 0 上有互不重合的两个动点 A B 及一个定点 M x 0 y 0 F 为抛物线的焦点且 | A F | | M F | | B F | 成等差数列.求证线段 A B 的垂直平分线经过定点 Q x 0 + p 0 .
已知点 A 0 -2 B 0 4 动点 P x y 满足 P A ⃗ ⋅ P B ⃗ = y 2 - 8 .1求动点 P 的轨迹方程2设1中所求轨迹与直线 y = x + 2 交于 C D 两点.求证 O C ⊥ O D O 为原点.
已知双曲线 C x 2 - y 2 = 1 及直线 l y = k x - 1 .1若 l 与 C 有两个不同的交点求实数 k 的取值范围2若 l 与 C 交于 A B 两点 O 是坐标原点且 △ A O B 的面积为 2 求实数 k 的值.
当兔子和狐狸处于同一栖息地时忽略其他因素只考虑兔子数量和狐狸数量的互相影响为了简便起见不妨做如下假设 1 由于自然繁殖兔子数每年增长 10 % 狐狸数每年减少 15 % ; 2 由于狐狸吃兔子兔子数每年减少狐狸数的 0.15 倍狐狸数每年增加兔子数的 0.1 倍 3 第 n 年时兔子数量用 R n 表示狐狸数量用 F n 表示 4 初始时刻即第 0 年兔子数量有 R 0 = 100 只狐狸数量有 F 0 = 30 只. 请用所学知识解决如下问题 1 列出兔子与狐狸的生态模型 2 求出 R n F n 关于 n 的关系式 3 讨论当 n 越来越大时兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态说明你的理由.
已知抛物线 C 1 : y 2 = 8 x 与双曲线 C 2 : x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 a > 0 b > 0 有公共焦点 F 2 点 A 是曲线 C 1 C 2 在第一象限的交点且 | A F 2 | = 5 ．1求双曲线 C 2 的方程2以双曲线 C 2 的另一焦点 F 1 为圆心的圆 M 与直线 y = 3 x 相切圆 N : x - 2 2 + y 2 = 1 ．过点 P 1 3 作互相垂直且分别与圆 M 圆 N 相交的直线 l 1 和 l 2 设 l 1 被圆 M 截得的弦长为 s l 2 被圆 N 截得的弦长为 t 问 s t 是否为定值如果是请求出这个定值如果不是请说明理由．
已知椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的左右焦点分别为 F 1 F 2 其左准线为 l 0 : x = - 4 左顶点 A 上顶点为 B 且 △ B F 1 F 2 是等边三角形. 1 求椭圆 C 的方程 2 过 F 1 任意作一条直线 l 交椭圆 C 于 M N 均不是椭圆的顶点设直线 A M 交 l 0 于 P 直线 A N 交 l 0 于 Q 试判断 F 1 P ⃗ ⋅ F 1 Q ⃗ 是否为定值并证明你的结论.
已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 经过点 0 3 离心率为 1 2 左右焦点分别为 F 1 - c 0 与 F 2 c 0 . 1求椭圆 C 的方程2设椭圆 C 与 x 轴负半轴交点为 A 过点 M -4 0 作斜率为 k k ≠ 0 的直线 l 交椭圆 C 于 B D 两点 B 在 M D 之间 N 为 B D 中点并设直线 O N 的斜率为 k 1 .ⅰ证明 k ⋅ k 1 的值 ⅱ是否存在实数 k 使得 F 1 N ⊥ A D 如果存在求直线 l 的方程如果不存在请说明理由.
设 M 是焦距为 2 的椭圆 E x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 上一点 A B 是椭圆 E 的左右顶点直线 M A 与 M B 的斜率分别为 k 1 k 2 且 k 1 ⋅ k 2 = - 1 2 .1求椭圆 E 的方程2已知椭圆 E x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 上点 N x 0 y 0 处切线方程为 x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 .若 P 是直线 x = 2 上任意一点从 P 向椭圆 E 作切线切点分别为 C D 求证直线 C D 恒过定点并求出该定点坐标.
已知椭圆 y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1 a > b > 0 的两个焦点为 F 1 F 2 离心率为 2 2 直线 l 与椭圆相交于 A x 1 y 1 B x 2 y 2 两点且满足 | A F 1 | + | A F 2 | = 4 2 O 为坐标原点. 1 求椭圆的方程 2 设 m → = x 1 b y 1 a n → = x 2 b y 2 a 若 m → ⋅ n → = 0 试问 △ A O B 的面积是否为定值如果是请给予证明如果不是请说明理由.
已知椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 与直线 x + y = 1 交于 P Q 两点且 O P ⊥ O Q 其中 O 为坐标原点.1求 1 a 2 + 1 b 2 的值2若椭圆的离心率 e 满足 3 3 ⩽ e ⩽ 2 2 求椭圆长轴长的取值范围.
已知双曲线 C : x 2 - y 2 = 1 及直线 l : y = k x - 1 .1若 l 与 C 有两个不同的交点求实数 k 的取值范围2若 l 与 C 交于 A B 两点 O 是坐标原点且 △ A O B 的面积为 2 求实数 k 的值.
已知抛物线 C : y 2 = 2 p x p > 0 的焦点为 F 1 0 点 O 为坐标原点 A B 是曲线 C 上异于 O 的两点.1求曲线 C 的方程2若直线 O A O B 的斜率之积为 − 1 2 求证直线 A B 过定点.
已知抛物线 y 2 = 2 p x p > 0 的焦点 F 在双曲线 x 2 3 - y 2 6 = 1 的右准线上抛物线与直线 l : y = k x - 2 k > 0 交于 A B 两点 A F B F 的延长线与抛物线交于 C D 两点．1求抛物线的方程2若 △ A F B 的面积等于 3 求 k 的值3记直线 C D 的斜率为 k C D 证明 k C D k 为定值并求出该定值．
已知椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的离心率为 3 2 A a 0 B 0 b O 0 0 △ O A B 的面积为 1 .1求椭圆 C 的方程2设 P 的椭圆 C 上一点直线 P A 与 y 轴交于点 M 直线 P B 与 x 轴交于点 N .求证: ∣ A N ∣ ⋅ ∣ B M ∣ 为定值.
平面直角坐标系中 O 为坐标原点给定两点 A 1 0 B 0 - 2 点 C 满足 O C → = α O A → + β O B → 其中 α β ∈ R 且 α - 2 β = 1. 1求点 C 的轨迹方程 2设点 C 的轨迹与椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 交于两点 M N 且以 M N 为直径的圆过原点求证 1 a 2 + 1 b 2 为定值.
如图所示等边三角形 O A B 的边长为 8 3 且其三个顶点均在抛物线 E : x 2 = 2 p y p > 0 上.1求抛物线 E 的方程2设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P 与直线 y = - 1 相交于点 Q 求证以 P Q 为直径的圆恒过 y 轴上某定点.
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